正弦波の式
sinθを正弦、cosθを余弦という。これらとθの関係を表すグラフは、周期2πで同じ形を繰り返し、いわゆる正弦波の形になる。今回は、このグラフを表す式について詳しく見ていこう。
位相
正弦波は、各媒質が単振動をしながら伝わる現象のことだ。このとき、媒質が1周期のうちどの段階にあるのかを表す物理量を位相θと呼ぶ。位相は、単振動が等速円運動の射影だったことを思い出して、元の角度θで表すことができる。
また、sinθやcosθのグラフは、θ=0のとき、それぞれ0と1だ。これを少しズラそうと思ったら、それぞれ
とすればよい。Φを初期位相という。
次はこんな図を見て欲しい。正弦波はλごとに同じ形を繰り返すので、λだけ離れた点はすべて同じタイミングで振動することになる。これは単振動の段階がすべて同じという意味で、同位相であるという。これに対して、上図の●と●、○と○のようにλ/2だけ離れた点は、変位や速度が逆向きになっている。これを逆位相であるという。逆位相の点では、位相がちょうどπだけ異なっている。
正弦波の式
sinθやcosθのグラフは周期2πで同じ形を繰り返す。これを周期Tにするためには、以前、円運動のところで角度θを、
と表したことを思い出して、これをy=sinθへ代入すればいい。今回のωは角振動数と呼ばれる。すると、
となる。また、ωが周期Tを使って、
表せるから、
となる。
周期の次は振幅を変更しよう。今、この式が表すグラフの振幅は1である。これをAにするには、全体をA倍すればよい。
また、この式を振幅A, 波長λのy-xグラフを表す式に換えるためには、T→λ, t→xとすればいい。
ところで、このようにして作ったグラフの式は、ある位置における媒質の時間変化(y-tグラフ)や、ある時刻における波形(y-xグラフ)を表している。では、時刻tにおける位置xの変位y(x,t)を表す式はどう表せばよいのだろう。
まずは波がx軸正の向きに速さvで伝わっている場合を考えよう。原点(x=0)の媒質の振動の様子が、
と表されるとする。さて、原点の振動が位置xに伝わるのに、時間がΔt=x/vだけかかることを踏まえると、時刻tにおける位置xの変位yは、時刻t－Δtにおける原点の変位y0と等しいことになる。
ここで、vT＝λだから、時刻tにおける位置xの変位y(x,t)は、
となる。これが、x軸正の向きに伝わる正弦波の式である。
次に、x軸負の向きに伝わる波を考える。位置xの振動がΔtの間に原点まで伝わるとすると、時刻tにおける位置xの変位yは、時刻t+Δtにおける原点の変位y0と等しいことになる。
これが、x軸負の向きに伝わる正弦波の式である。
定常波の式
同じ振幅、同じ波長の正弦波が一直線上を逆向きに進むとき、これらが重なり合って定常波ができるのだった。そこで、x軸上を正の向きに進む波y+と負の向きに進む波y-の和を計算して、定常波の式を導いてみよう。
ここで、加法定理
を足し合わせて、
得た式へ
を代入すると、
という関係が得られるから、yは、
となる。このままではイメージしにくいので、
とおいて、
と変形する。こうすると、この式が「位置xの媒質が振幅A'、周期Tで単振動している」ことを表していることが分かりやすい。
問題
定常波の式から、定常波の節と腹のx座標を求めよ。
解答
振幅が0の位置が定常波の節だから、A'(x)=0となるxを探せばよい。つまり、節の位置は
である。
また、定常波の腹は、振幅が最大になる点だから、
である。