ハミルトンの正準方程式
仮想変位の原理や最小仕事の原理によって導出されるラグランジュ方程式は、ラグランジアンLからも分かるように、一般化座標qとその時間微分を変数に持つ。このような2階微分方程式は扱いにくい。そこで、一般化座標qと一般化運動量pを持つ方程式に変換することを考えてみる。
一般化運動量pは、
であり、ラグランジュ方程式から、
という関係もあることがわかる。
さて、ラグランジュ方程式の変数を変換するために、qとその時間微分で表されるラグランジアンLを、qとpを使ったHという量に変換することを考えよう。
Hをハミルトニアンという。
まず、Lの全微分が
であり、
より、
となる。ここで、ハミルトニアンHを
とおくと、
となる。
また、H＝H(q,p)の全微分dHは
であるから、2つの式を比較することで、
という新たな2つの方程式ができる。これらをまとめてハミルトンの正準方程式という。
ハミルトニアン
それではハミルトニアンHの意味について考えてみよう。
となることから、ハミルトニアンは系の全エネルギーであることが分かる。
最小作用の原理
ラグランジアンLを時間tで積分した量
を作用といい、これを最小にするような軌道を描くことを最小作用の原理という。
作用Iの変分δIは、
右辺第2項は
だから、
となる。これが0であるためには、
であればよい。これはハミルトンの正準方程式である。