波と振動

発音体の振動 ←→ テイラー展開

　救急車のサイレンの音は、救急車が通り過ぎると急に低くなる。このように、音源と観測者の距離の関係によって、音の高さが変化する現象をドップラー効果という。

　音源が動くと波長λが変化する。すると振動数ｆも変化する。これが音の高さが変わる原因である。

　いま、音源Sが観測者に速さv_s[m/s]で近づいているとしよう。音速がV[m/s]であれば、ある瞬間に発せられた音は1秒後にV[m]進むことになる。ところが、その間に音源自体もv_s[m]進むから、音の先端から音源までの距離は(V-v_s)[ｍ]である。そして、音の振動数がfのとき、1秒間にf個の波が生じるわけだから、距離を波の個数で割ることで波長λ'を求めることができる。

あとは、この波長の音が音速Vで観測者に到達するのだから、波の基本式「V=fλ」より、観測者が聴く音の振動数 f' は、

となる。

　次は、音源Sが観測者から速さv_s[m/s]で離れている場合を考えよう。あるとき発せられた音は1秒後にV[m]進む。しかし、この間に音源自体もv_s[m]進むから、音の先端から音源までの距離は(V+v_s)[m]である。だから、この距離を波の個数ｆで割ることで、波長λ'を求めることができる。

あとは、この波が音速Vで観測者へ到達するわけだから、観測者が聴く音の振動数 f' は、

となる。

　ちなみに、音源→観測者の向きを正の向きとすると、音源が観測者から離れるとき、その速度は負ということになるから、このとき観測者が聴く音の振動数は、

となる。つまり、音源が近づくときの式が使えることが分かる。

　次は観測者が動く場合を考える。すると、今回波長は変化しないが、1秒間に観測者を通過する波の数が変化するため、音の高さが変化する。

　まずは観測者Oが音源から速さv_oで離れている場合を考えよう。音源から出た波は、1秒後にV[m]進み、この先端から音源の間にｆ個の波が存在している。同様に、観測者を通過した波も1秒後にV[m]進むが、この間に観測者自体もv_o[m]進むので、音の先端から観測者までの距離は(V-V_o)[m]である。だから、この距離にある波の数を数えることで、観測者が聴く音の振動数ｆ'を求めることができる。

　続いて観測者が音源へ近づいている場合を考える。このとき、観測者を通過した音は1秒後にV[m]進むが、この間に観測者自体もv_o[m]進むので、音の先端から観測者までの距離は(V+v_o)[m]となっている。すると、1秒間に観測者を通過した波の数ｆ'は、

となる。

　ちなみに、音源が動くときと同様に音源→観測者の向きを正の向きとすると、観測者が音源に近づくときに聞く音の振動数は、

となり、観測者が音源から離れていくときの式が使えることが分かる。音速Vが正になるように向きを取っていることがポイントだ。

　それでは、音源も観測者も動いているとき、観測者が聴く音の振動数はどう表されるのだろう。まず、音源が動いているわけだから、波長は

となっている。そしてこれが観測者まで伝わるから、1秒間に波が観測者を

回通過することになるはずだが、この間に観測者も動いているから、結局、

1秒間にこれだけの波が観測者を通過することになり、これが観測者が聴く音の振動数となる。ちなみに、一方が静止しているときにはv_oやv_sを0とすればよいので、この式を覚えておくだけでここだけ話した条件すべてに対応できる。

　次は、反射板があり、これが動いている場合を考えてみよう。反射板は、観測者として音を受け取ったり、音源として音を出したりすると考えればいい。

だから例えば、反射板が音源や観測者からv_Rで遠ざかっているとき、まずは反射板を”観測者”と見なして、反射板が受け取る音の振動数f_Rを計算する。

続いて、反射板を音源と見なして、反射板から振動数f_Rの音が出ているとすると、観測者が受け取る音の振動数f'は、

となる。音速Vの向きが正の向きなので、反射板を”観測者”と見なす時と”音源”と見なすときとで、式を使う場合の正の向きが異なっていることに注意しよう。

問題

　上の状況において観測者は、反射板から受け取る音f'とは別に、音源から直接音fを受け取ることになるため、うなりを観測することになる。このうなりの1秒間あたりの回数Δfを求めよ。

解答

　うなりの公式より、