万有引力
ある日、庭でくつろいでいたニュートンは、木からリンゴが落ちるのを見て万有引力を思いついた。地球とリンゴの間にはたらくこの力は、地球と月のあいだにもはたらいているのではないか、と。
ケプラーの法則
コペルニクスが地動説を発表する以前、地球が世界の中心であるという天動説が常識であったのと同様に、彼が登場するまで惑星は真円を描いて運動しているものだと思われていた。ヨハネス・ケプラーは、師であるティコ・ブラーエの遺した膨大な観測記録から、次の3種類の法則を見つけ出したのだ。
①惑星は太陽を1つの焦点とする楕円軌道上を運動している。
楕円というのは、2つの焦点からの距離の和が変わらない図形のこと。
②惑星が一定期間内に掃く面積は等しい（面積速度一定）。
惑星は太陽に近いほど速く移動し、遠いほどゆっくりと移動するということで、詳しく調べてみると、図の2つの三角形の面積が等しくなっていたのだ。つまり、
という式が成り立っている。
③すべての惑星について、周期Tの2乗と軌道の長半径aの3乗は比が一定。
第2法則は、1つの惑星の中で運動を比較するときに使う。第3法則は、2つ以上の惑星の運動を比較するときに使う。また、これらの法則は、太陽と惑星のあいだだけでなく、地球と衛星のあいだにも適用される。
問題
半径Rの円軌道上を進む衛星の周期T1と、長半径2Rの楕円軌道上を進む衛星の周期T2の比(T2/T1)を求めよ。
解答
ケプラーの第3法則より、
万有引力の法則
ケプラーの法則によって惑星の運動がまとめられたが、次の問題は、このような運動が起こるためにはどのような力がはたらいていなければならないかということだった。この疑問を解決したのがニュートンで、彼は惑星と太陽のあいだにはそれぞれの質量に比例し、距離の2乗に反比例するような引力がはたらいていると仮定し、ケプラーの法則が成立することを証明した。
また、ニュートンはこの力が天体のあいだだけでなく、質量を持つあらゆる物体のあいだにはたらいていることに気付いた。この力を万有引力といい、Gを万有引力定数という。
問題
半径Rの円軌道上を運動する衛星の速さvを求めよ。ただし、地球の質量をM, 万有引力定数をGとする。
解答
衛星の質量をmとする。円運動の運動方程式より、
万有引力による位置エネルギー
万有引力がする仕事はその経路によらない。よって、万有引力は保存力であり、位置エネルギーを定義することができる。
- 物体を<基準面>から移動させたとき、そのあいだに保存力Fに逆らう力F'がした仕事を位置エネルギーUという。
図のように座標を取ると、万有引力Fに逆らう力F'は
である。ここで、万有引力による位置エネルギーの<基準面>を無限遠(r=∞)に取って計算すると、
になる。これが万有引力による位置エネルギーだ。
問題
図のような楕円軌道上を運動する衛星が、地球に最も近づくときの速さvPと、最も遠ざかるときの速さvQを求めよ。
解答
まず、ケプラーの第2法則より
続いて力学的エネルギー保存則より
これらを解いて、
