一般化座標
ラグランジュ方程式は、1次元の運動の場合、
と表され、2次元の運動の場合には、x→yと置き換えた式が増えるだけでよく、また、極座標を用いる場合にも、x→r, θと置き換えた式を2つ作るだけでよかった。さらに、3次元の運動の場合にはx→zやx→φと置き換えた式を追加するだけでいいのだ。
つまり、ラグランジュ方程式は座標の取り方によらず同じ形の式で表され、運動の自由度の数だけ同じ形の式が作られるということになる。そこで、座標qi（i＝1～自由度の数）使って、ラグランジュ方程式を次のように表そう。
このqを一般化座標という。
3次元から3N次元へ
また、今までは1つの物体の運動を見てきたけれど、N個の物体の運動を記述する場合には3N個の式を作ればいいから、i＝1～3Nと考えればいい。これだけの式を並べるのは大変だが、上の式だけで意味は分かるのでとっても便利！
ところで一般化座標を使ってラグランジュ方程式を表したとき、
を一般化運動量、
を一般化力という。すると、これらの間には
という関係が成り立つ。
ここからは、直交座標の成分も(x1,x2,…)と表すことにしよう。直交座標xiは、極座標(r,θ,φ)の式にもなっていたから、同様に、xiは一般化座標qiを使っても書けるはずだ。
だから、全微分の関係
を思い出して、全体をｔ微分すれば次のような式が成り立つことが分かる。
この式は、∑記号を使って次のように表される。
この式全体を、特定の・qjで偏微分すれば、右辺は・qjの”係数”だけが残る。
運動エネルギー
直交座標における運動エネルギーTは、
と表される。ここに、一般化座標ｑを使った・ｘiの式を代入すると、
となるから、ここで
とおくと、
となる。